Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№26. Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости α, а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите, что треугольники ABC и MBN подобны.
✎ Запись в тетрадь
Дано:AC∥α; AB∩α=M, BC∩α=N
Доказать:△ABC∼△MBN
M,N∈α и
M,N∈(ABC) ⇒
α∩(ABC)=MN.
1 AC∥α,
AC⊂(ABC) ⇒
MN∥AC (п. 6, утв. 1°).
2 ∠BMN=∠BAC (соответственные при
MN∥AC, секущая
AB).
3 ∠B — общий ⇒
△ABC∼△MBN по двум углам.
4 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Плоскость треугольника проходит через прямую AC, параллельную α, и пересекает α. По утверждению 1° из п. 6 линия пересечения параллельна AC. Дальше обычная планиметрия: подобие по двум углам.
- 1Плоскости α и (ABC) различны и имеют две общие точки M и N. Значит, они пересекаются по прямой MN.
- 2Утверждение 1° (п. 6): если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Здесь прямая — AC, плоскость — (ABC).
- 3Теперь всё лежит в одной плоскости ABC: прямые MN и AC параллельны, AB — секущая.
- 4У двух треугольников два равных угла: общий угол B и угол при M, равный углу при A. Этого достаточно для подобия.
