Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№180. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α⊥γ; a⊥γ, a⊂α
Доказать:a∥α
Допустим,
a не параллельна
α.
a⊂α ⇒
a∩α=M.
1M∈α,
a∋M,
a⊥γ,
α⊥γ ⇒
a⊂α (зад. 179).
2 Противоречие с
a⊂α ⇒
a∥α.
3Ответ: a∥α.
Пояснение
Идея. Доказываем от противного: прямая, не лежащая в плоскости, либо параллельна ей, либо пересекает её в одной точке. Пересечение невозможно из-за задачи 179.
- 1Если прямая a не лежит в α и не параллельна ей, у них есть общая точка M — и только одна.
- 2Задача 179: плоскость α перпендикулярна γ, а прямая a проходит через точку M плоскости α и перпендикулярна γ. Значит, a лежит в α.
- 3По условию a не лежит в α — получили противоречие. Остаётся один вариант: общих точек нет, то есть a∥α.
