Номер 181 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

№181. Плоскости $α$ и $β$ пересекаются по прямой $a$ . Из точки $M$ проведены перпендикуляры $M A$ и $MB$ соответственно к плоскостям $α$ и $β$ . Прямая $a$ пересекает плоскость $A MB$ в точке $C$ . Докажите, что $MC ⊥ a$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

α \cap β = a

;

M A ⊥ α

MB ⊥ β

;

C = a \cap (A MB)

Доказать:

MC ⊥ a

Плоскости α и β, прямая a, перпендикуляры MA и MB и плоскость AMB

M A ⊥ α

a \subset α

⇒

M A ⊥ a

MB ⊥ β

a \subset β

⇒

MB ⊥ a

M A

MB

пересекаются в

M

, лежат в

(A MB)

⇒

a ⊥ (A MB)

MC \subset (A MB)

⇒

a ⊥ MC

Ответ:

MC ⊥ a

Пояснение

Идея. Покажем, что прямая $a$ перпендикулярна всей плоскости $A MB$ — тогда она перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, в том числе $MC$ .

1Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости. Прямая $a$ лежит и в $α$ , и в $β$ , поэтому $a ⊥ M A$ и $a ⊥ MB$ .
2Прямые $M A$ и $MB$ пересекаются в точке $M$ и определяют плоскость $A MB$ . Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости, перпендикулярна этой плоскости (п. 17).
3Точки $M$ и $C$ лежат в плоскости $A MB$ , поэтому прямая $MC$ тоже в ней — и $a ⊥ MC$ .

Номер 181 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели