Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 58, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№182. Плоскости α и β взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой a. Из точки M проведены перпендикуляры MA и MB к этим плоскостям. Прямая a пересекает плоскость AMB в точке C. а) Докажите, что четырёхугольник ACBM является прямоугольником. б) Найдите расстояние от точки M до прямой a, если AM=m, BM=n.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α⊥β, α∩β=a; MA⊥α, MB⊥β; C=a∩(AMB); AM=m, BM=n
Доказать и найти:а) доказать: ACBM — прямоугольник; б) ρ(M,a)
а)
MA⊥a,
MB⊥a ⇒
a⊥(AMB) (зад. 181) ⇒
a⊥CA,
a⊥CB.
1 CA⊂α,
CB⊂β ⇒
∠ACB — линейный;
α⊥β ⇒
∠ACB=90∘.
2 MA⊥α ⇒
∠MAC=90∘;
MB⊥β ⇒
∠MBC=90∘.
3 Три прямых угла у плоского четырёхугольника ⇒
ACBM — прямоугольник.
4б)
MC⊥a — искомое расстояние;
AC=MB=n.
5 Пояснение
Идея. Из задачи 181 ось a перпендикулярна плоскости AMB, в которой лежит четырёхугольник. Это даёт прямой угол при C; два других прямых угла — из перпендикуляров MA и MB. Искомое расстояние — диагональ прямоугольника.
- 1Как в задаче 181, a⊥MA и a⊥MB, значит, a⊥(AMB). Точки A, B, C лежат в этой плоскости, поэтому CA⊥a и CB⊥a.
- 2Точки A и C лежат в α, поэтому CA⊂α; так же CB⊂β. Лучи CA и CB перпендикулярны ребру a в точке C — угол между ними равен углу между плоскостями, то есть 90∘.
- 3Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости: MA⊥AC (прямая AC лежит в α) и MB⊥BC.
- 4Четырёхугольник ACBM лежит в одной плоскости AMB и имеет три прямых угла (при A, C и B). Сумма углов равна 360∘, поэтому четвёртый угол тоже прямой.
- 5Прямая a перпендикулярна MC (задача 181), так что MC — расстояние от M до a. Это диагональ прямоугольника, а противоположные стороны прямоугольника равны: AC=MB. Затем теорема Пифагора в треугольнике MAC.
