№184. Общая сторона AB треугольников ABC и ABD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите CD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB.
✎ Запись в тетрадь
Дано:
AB=10 см; (ABC)⊥(ABD); а) оба треугольника равносторонние; б) оба прямоугольные равнобедренные с гипотенузой AB
Идея. Обе вершины проектируем на общую сторону: отрезки CM и DM к середине AB — высоты треугольников и стороны линейного угла. Он прямой, поэтому CD находится по теореме Пифагора.
1В равностороннем треугольнике и в равнобедренном (с основанием AB) медиана к AB является высотой.
2Лучи MC и MD лежат в плоскостях треугольников и перпендикулярны общему ребру AB — это линейный угол двугранного угла. Плоскости перпендикулярны, значит, угол равен 90∘.
3В прямоугольном треугольнике CMD отрезок CD — гипотенуза.
4Высота равностороннего треугольника со стороной a равна 2a3.
5Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.
