Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 59, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№185. Прямая a не перпендикулярна к плоскости α. Докажите, что существует плоскость, проходящая через прямую a и перпендикулярная к плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:a⊥α
Доказать:существует β⊃a, β⊥α
M∈a — любая точка;
p∋M,
p⊥α.
1 β — плоскость через пересекающиеся прямые
a и
p.
2 β⊃p,
p⊥α ⇒
β⊥α (признак, п. 23).
3 β⊃a ⇒
β — искомая плоскость.
3 Ответ: такая плоскость β существует.
Пояснение
Идея. Нужная плоскость должна проходить через a и содержать перпендикуляр к α. Тогда по признаку (п. 23) она перпендикулярна α. Так её и строим.
- 1Берём на a любую точку M и проводим через неё прямую p, перпендикулярную плоскости α.
- 2Прямые a и p различны: p⊥α, а a по условию — нет. Они имеют общую точку M, а через две пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость β.
- 3Плоскость β проходит через прямую p, перпендикулярную α — признак перпендикулярности плоскостей выполнен. Кроме того, β содержит a, как и требуется.
