Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 59, §3 Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
№183. Плоскости α и β пересекаются по прямой a и перпендикулярны к плоскости γ. Докажите, что прямая a перпендикулярна к плоскости γ.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∩β=a; α⊥γ, β⊥γ
Доказать:a⊥γ
M∈α,
α⊥γ ⇒
m⊂α (зад. 179).
2 M∈β,
β⊥γ ⇒
m⊂β (зад. 179).
2 m⊂α∩β=a и
M∈m,
M∈a ⇒
m=a.
3 Ответ: a⊥γ.
Пояснение
Идея. Берём из точки a перпендикуляр к γ. По задаче 179 он лежит и в α, и в β, то есть на их общей прямой a — значит, это и есть a.
- 1Через любую точку M прямой a проходит прямая m, перпендикулярная плоскости γ.
- 2Плоскость α перпендикулярна γ и содержит M. По задаче 179 прямая, проведённая через точку α перпендикулярно γ, лежит в α. Для β то же самое.
- 3Прямая m лежит в обеих плоскостях, значит, она лежит на их общей прямой a. Две прямые с общей точкой M, одна из которых лежит на другой, совпадают. Отсюда a⊥γ.
