Номер 186 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Нужная прямая — линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна одной и той же плоскости $\alpha$. Такая линия сама перпендикулярна $\alpha$, а значит, и всем прямым в $\alpha$ и параллельным ей.

1. 1Через $a$ проходит плоскость $\alpha$, параллельная $b$ (п. 7). Все дальнейшие построения опираются на эту плоскость.
2. 2Ни $a$ (она лежит в $\alpha$), ни $b$ (она параллельна $\alpha$) не перпендикулярны плоскости $\alpha$. По задаче 185 через каждую из них проходит плоскость, перпендикулярная $\alpha$: это $\beta$ и $\gamma$.
3. 3Плоскости $\beta$ и $\gamma$ пересекаются: иначе они параллельны, и тогда линии их пересечения с $\alpha$ параллельны, то есть $a\parallel b^{\prime }$, а так как $b\parallel b^{\prime }$, то $a\parallel b$ — но $a$ и $b$ скрещиваются. Две плоскости, перпендикулярные $\alpha$, пересекаются по прямой $p\perp \alpha$ (задача 183).
4. 4Прямая $p$ перпендикулярна любой прямой плоскости $\alpha$, в том числе $a$. Прямая $b$ параллельна некоторой прямой $b^{\prime }$ из $\alpha$ (например, $b^{\prime }=\gamma \cap \alpha$), поэтому $p\perp b^{\prime }$ и $p\perp b$.
5. 5$p$ и $a$ лежат в одной плоскости $\beta$. Они не параллельны: из $a\parallel p$ следовало бы $a\perp \alpha$, а $a\subset \alpha$. Значит, пересекаются. С $b$ то же в плоскости $\gamma$: $b\parallel p$ дало бы $b\perp \alpha$, а $b\parallel \alpha$.
6. 6Любая прямая $A_1{B}_1$ с этими свойствами перпендикулярна $a$ и $b^{\prime }$ — двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$ ($b^{\prime }$ не параллельна $a$, иначе $b\parallel a$). По признаку п. 17 $A_1{B}_1\perp \alpha$.
7. 7Если бы таких прямых было две, обе были бы перпендикулярны $\alpha$ и потому параллельны. Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, а она содержит и точки $a$ (где их пересекает $a$), и точки $b$. Значит, $a$ и $b$ в одной плоскости — противоречие со скрещиванием.