Номер 191 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Признак п. 23: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Ищем в плоскости $AB{C}_1$ такую прямую — это $A{D}_1$.

1. 1Прямые $AB$ и $D_1{C}_1$ параллельны (обе параллельны $DC$), поэтому точки $A$, $B$, $C_1$, $D_1$ лежат в одной плоскости. Значит, плоскость $AB{C}_1$ содержит $D_1$ и прямую $A{D}_1$. Так же плоскость $A_1{B}_{1}D$ содержит $C$.
2. 2Грань $A{A}_1{D}_{1}D$ — квадрат, его диагонали взаимно перпендикулярны.
3. 3Ребро $A_1{B}_1$ перпендикулярно рёбрам $A_{1}A$ и $A_1{D}_1$ грани $A{A}_1{D}_{1}D$, поэтому перпендикулярно всей этой плоскости и любой её прямой, в том числе $A{D}_1$.
4. 4$A_{1}D$ и $A_1{B}_1$ — пересекающиеся прямые плоскости $A_1{B}_{1}D$. Прямая $A{D}_1$ перпендикулярна обеим, значит, по признаку п. 17 перпендикулярна плоскости $A_1{B}_{1}D$.
5. 5Плоскость $AB{C}_1$ проходит через $A{D}_1$, перпендикулярную $A_1{B}_{1}D$. Признак п. 23 выполнен.