Номер 193 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

— прямоугольный параллелепипед;

D_{1} B = d

A C = m

A B = n

Найти:

расстояния: а)

A_{1} C_{1}

—

(A BC)

; б)

(A B B_{1})

—

(D C C_{1})

; в)

D D_{1}

—

(A C C_{1})

D_{1} B^{2} = A B^{2} + A D^{2} + A A_{1}^{2}

(п. 24),

A C^{2} = A B^{2} + A D^{2}

⇒1

A A_{1} = d^{2} - m^{2}, A D = m^{2} - n^{2}

а)

Прямоугольный параллелепипед, перпендикуляр AA₁ к плоскости ABC

A_{1} C_{1} ∥ A C

⇒

A_{1} C_{1} ∥ (A BC)

;

A A_{1} ⊥ (A BC)

ρ (A_{1} C_{1}, (A BC)) = A A_{1} = d^{2} - m^{2}

б)

Прямоугольный параллелепипед, общий перпендикуляр AD параллельных плоскостей

(A B B_{1}) ∥ (D C C_{1})

;

A D ⊥ A B

A D ⊥ A A_{1}

⇒

A D ⊥ (A B B_{1})

ρ = A D = m^{2} - n^{2}

в)

Прямоугольный параллелепипед, высота DH треугольника ADC

D D_{1} ∥ C C_{1}

⇒

D D_{1} ∥ (A C C_{1})

; ищем

ρ (D, (A C C_{1}))

DH ⊥ A C

DH ⊥ C C_{1}

⇒

DH ⊥ (A C C_{1})

DH = \frac{A D \cdot D C}{A C} = \frac{n m ^{2} - n ^{2}}{m}

Ответ: а)

d^{2} - m^{2}

; б)

m^{2} - n^{2}

; в)

\frac{n m ^{2} - n ^{2}}{m}

Пояснение

Идея. Все три расстояния сводятся к длине перпендикуляра: ребро, перпендикулярное плоскости, или высота прямоугольного треугольника в основании. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью — расстояние от любой точки прямой до плоскости (п. 19).

1Диагональ $D_{1} B$ и диагональ основания $A C$ выражаются через измерения по п. 24 и теореме Пифагора для основания. Из двух равенств выражаем $A A_{1}$ и $A D$ .
2Прямая $A_{1} C_{1}$ параллельна $A C$ , значит, параллельна плоскости $A BC$ . Все её точки одинаково удалены от плоскости, а $A A_{1}$ — перпендикуляр к ней.
3Плоскости противоположных граней параллельны. Ребро $A D$ перпендикулярно $A B$ и $A A_{1}$ — двум пересекающимся прямым плоскости $A B B_{1}$ , поэтому оно перпендикулярно этой плоскости и служит расстоянием.
4 $D D_{1} ∥ C C_{1}$ , а $C C_{1}$ лежит в плоскости $A C C_{1}$ , поэтому $D D_{1}$ параллельна ей. Расстояние — это расстояние от $D$ до плоскости $A C C_{1}$ . Перпендикуляр к плоскости — высота $DH$ треугольника $A D C$ (она перпендикулярна $C C_{1}$ , потому что $C C_{1} ⊥ (A BC)$ ).
5Высота прямоугольного треугольника $A D C$ с прямым углом $D$ равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. Катеты — $A D$ и $D C = n$ .

Номер 193 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели