Номер 194 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

куб, ребро

a

Найти:

расстояние между скрещивающимися прямыми: а) диагональ куба и ребро; б) диагональ куба и диагональ грани

а)

Диагональ

A C_{1}

, ребро

D D_{1}

;

D D_{1} ∥ C C_{1}

C C_{1} \subset (A C C_{1})

D D_{1} ∥ (A C C_{1})

⇒

ρ = ρ (D, (A C C_{1}))

O = A C \cap B D

D O ⊥ A C

D O ⊥ C C_{1}

⇒

D O ⊥ (A C C_{1})

ρ = D O = \frac{B D}{2} = \frac{a 2}{2}

б)

Диагональ

A C_{1}

, диагональ

B D

основания.

B D ⊥ (A C C_{1})

в точке

O

O H ⊥ A C_{1}

H \in A C_{1}

δ \supset A C_{1}

δ ∥ B D

O H ⊥ B D

⇒

O H ⊥ l

l ∥ B D

l \subset δ

⇒

O H ⊥ δ

ρ = O H = A O sin ∠ C_{1} A C = \frac{a 2}{2} \cdot \frac{a}{a 3} = \frac{a 6}{6}

Ответ: а)

\frac{a 2}{2}

; б)

\frac{a 6}{6}

Пояснение

Идея. Расстояние между скрещивающимися прямыми — расстояние от одной из них до плоскости, проходящей через другую параллельно первой (п. 19). Подбираем пары так, чтобы эта плоскость или общий перпендикуляр были видны на чертеже.

1Берём диагональ $A C_{1}$ и ребро $D D_{1}$ . Через $A C_{1}$ проходит плоскость $A C C_{1}$ ; ребро $C C_{1}$ лежит в ней и параллельно $D D_{1}$ , поэтому $D D_{1}$ параллельна этой плоскости. Расстояние между прямыми равно расстоянию от точки $D$ до неё.
2Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому $D O ⊥ A C$ . Ребро $C C_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, значит, $D O ⊥ C C_{1}$ . Прямая $D O$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $A C C_{1}$ .
3 $D O$ — половина диагонали $B D$ квадрата со стороной $a$ .
4Берём $A C_{1}$ и диагональ $B D$ основания. Прямая $B D$ перпендикулярна $A C$ и $A A_{1}$ , поэтому перпендикулярна плоскости $A C C_{1}$ и всем её прямым, в том числе $A C_{1}$ .
5Проводим в плоскости $A C C_{1}$ перпендикуляр $O H$ к $A C_{1}$ . Через $H$ проводим прямую $l ∥ B D$ . Плоскость $δ$ через $A C_{1}$ и $l$ параллельна $B D$ . $O H ⊥ B D$ , а $l ∥ B D$ , поэтому $O H ⊥ l$ . Вместе с $O H ⊥ A C_{1}$ получаем $O H ⊥ δ$ . Расстояние от $O \in B D$ до $δ$ — это и есть расстояние между $B D$ и $A C_{1}$ .
6 $O H$ — катет прямоугольного треугольника $A O H$ с гипотенузой $A O = \frac{a 2}{2}$ и углом $C_{1} A C$ при $A$ . Синус этого угла — $\frac{C C _{1}}{A C _{1}} = \frac{1}{3}$ .

Номер 194 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели