Номер 196 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Чтобы найти плоскость, проходящую через данную прямую и перпендикулярную данной плоскости, достаточно найти прямую, перпендикулярную данной плоскости и пересекающую данную прямую. Тогда искомая плоскость — через эти две прямые (признак п. 23).

1. 1Плоскость $B{B}_1{D}_1$ содержит и точку $D$, это диагональное сечение $B{B}_1{D}_{1}D$. Диагональ $AC$ основания перпендикулярна $BD$ (диагонали квадрата) и ребру $B{B}_1$ — двум пересекающимся прямым этой плоскости.
2. 2Через $A{A}_1$ и $AC$ проходит плоскость; она содержит прямую $AC$, перпендикулярную плоскости $B{B}_1{D}_1$, поэтому перпендикулярна ей. Эта плоскость единственна: две различные плоскости через $A{A}_1$, перпендикулярные $B{B}_1{D}_1$, пересекались бы по $A{A}_1$ и она была бы перпендикулярна $B{B}_1{D}_1$ (задача 183), но $A{A}_1\parallel B{B}_1$, а $B{B}_1$ лежит в плоскости $B{B}_1{D}_1$, поэтому $A{A}_1$ ей не перпендикулярна.
3. 3Плоскость пересекает куб по четырёхугольнику $A{A}_1{C}_{1}C$. Его стороны $A{A}_1$ и $C{C}_1$ параллельны и равны, а ребро $A{A}_1$ перпендикулярно основанию — это прямоугольник.
4. 4Плоскость $CD{A}_1$ — это сечение $A_1{B}_{1}CD$ (точка $B_1$ лежит в ней). Диагональ грани $A{D}_1$ перпендикулярна $A_{1}D$ и ребру $A_1{B}_1$ (задача 191), поэтому перпендикулярна плоскости $CD{A}_1$.
5. 5Плоскость через $AB$ и $A{D}_1$ перпендикулярна $CD{A}_1$ по признаку п. 23. Единственность — как в пункте а).
6. 6Плоскость пересекает куб по $AB{C}_1{D}_1$: $AB\parallel DC\parallel D_1{C}_1$, стороны $AB$ и $D_1{C}_1$ равны, а $AB\perp AD$ и $AB\perp A{A}_1$ дают $AB\perp A{D}_1$ — прямоугольник.