Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№28. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты соответственно точки D и E так, что длина отрезка DE равна 5 см и DABD=32. Плоскость α проходит через точки B и C и параллельна отрезку DE. Найдите длину отрезка BC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:D∈AB, E∈AC, DE=5 см, DABD=32; B,C∈α, DE∥α
Найти:BC
α∩(ABC)=BC;
DE∥α,
DE⊂(ABC) ⇒
DE∥BC (п. 6, утв. 1°).
1 BCDE=ABAD=53,BC=35⋅5=831 см
Ответ: BC=831 см.
Пояснение
Идея. Плоскость ABC проходит через DE, параллельную α, и пересекает α по прямой BC. По утверждению 1° из п. 6 отсюда DE∥BC, а дальше работает подобие в плоскости треугольника.
- 1Плоскости α и (ABC) имеют две общие точки B и C, их линия пересечения — прямая BC. Отрезок DE лежит в плоскости ABC и параллелен α, поэтому параллелен этой линии.
- 2Прямая, параллельная стороне, отсекает от треугольника подобный ему.
- 3Отношение BD:DA=2:3 — это часть к части. Для подобия нужна часть к целому: AB состоит из пяти частей, AD — три, поэтому AD:AB=3:5.
Частая ошибка. Взять DABD вместо ABAD и получить DE:BC=2:3, то есть BC=7,5 см.
