Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№29. В трапеции ABCD основание BC равно 12 см. Точка M не лежит в плоскости трапеции, а точка K — середина отрезка BM. Докажите, что плоскость ADK пересекает отрезок MC в некоторой точке H, и найдите отрезок KH.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — трапеция, BC=12 см; M∈/(ABC); K — середина BM
Доказать:(ADK)∩MC=H; найти KH
В
(MBC) проведём
KH∥BC,
H∈MC.
1K — середина
MB ⇒
H — середина
MC.
2 AD∥KH,
K∈KH ⇒
KH⊂(ADK) ⇒
H∈(ADK).
3 H∈MC,
H∈(ADK) ⇒
(ADK) пересекает
MC в точке
H.
4 KH — средняя линия
△MBC:
5 KH=21BC=6 см
Ответ: KH=6 см.
Пояснение
Идея. Точку пересечения проще построить, чем искать: в плоскости MBC проводим через K прямую, параллельную BC (а значит и AD), и показываем, что эта прямая лежит в плоскости ADK.
- 1Точки K и C лежат в одной плоскости MBC, там и строим: прямая через K, параллельная BC, пересекает сторону MC треугольника MBC в некоторой точке H.
- 2Прямая, проведённая через середину одной стороны треугольника параллельно второй, делит третью сторону пополам (теорема Фалеса).
- 3Основания трапеции параллельны, то есть BC∥AD. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Две параллельные прямые AD и KH лежат в одной плоскости; в ней же точка K, поэтому это и есть плоскость ADK.
- 4Точка H лежит на MC и в плоскости ADK, так что плоскость ADK пересекает MC именно в ней.
- 5KH соединяет середины сторон MB и MC, это средняя линия, она равна половине третьей стороны BC.
