Номер 198 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II

№198. Точка $A$ лежит в плоскости $α$ , а точка $B$ удалена от этой плоскости на расстояние $9$ см. Точка $M$ делит отрезок $A B$ в отношении $4 : 5$ , считая от точки $A$ . Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $α$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A \in α

;

ρ (B, α) = 9

см;

A M : MB = 4 : 5

Найти:

ρ (M, α)

Плоскость α, точка A в ней, точка B над плоскостью и точка M на отрезке AB

B H ⊥ α

B H = 9

;

M K ⊥ α

K \in α

B H ∥ M K

⇒

K \in A H

(всё лежит в плоскости

A B H

).2

△ A M K \sim △ A B H

: общий угол

A

∠ K = ∠ H = 9 0^{\circ}

\frac{M K}{B H} = \frac{A M}{A B} = \frac{4}{4 + 5} = \frac{4}{9}

M K = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4

Ответ:

4

см.

Пояснение

Идея. Расстояния от $B$ и $M$ до плоскости — два параллельных перпендикуляра к $α$ . Вместе с отрезками $A K$ и $A H$ в плоскости $α$ они образуют подобные прямоугольные треугольники.

1 $B H$ — перпендикуляр из $B$ к плоскости $α$ , его длина — данное расстояние. $M K$ — перпендикуляр из $M$ , его длину нужно найти.
2Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны (п. 16). Прямая через точку $M$ , параллельная $B H$ , лежит в плоскости $A B H$ , поэтому основание $K$ лежит на прямой $A H$ .
3В прямоугольных треугольниках $A M K$ и $A B H$ угол при $A$ общий, значит, они подобны.
4Отношение сходственных сторон $M K : B H$ равно отношению $A M : A B$ . Точка $M$ делит $A B$ в отношении $4 : 5$ , поэтому $A M$ составляет $\frac{4}{9}$ длины $A B$ .

Номер 198 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели