Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II
№197. Отрезок BM перпендикулярен к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD перпендикулярна к плоскости MBC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — прямоугольник; BM⊥(ABC)
Доказать:CD⊥(MBC)
CD⊥BC — стороны прямоугольника.
1 BM⊥(ABC),
CD⊂(ABC) ⇒
BM⊥CD.
2 BC и
BM пересекаются в
B и лежат в
(MBC).
3 CD⊥BC,
CD⊥BM ⇒
CD⊥(MBC) (п. 17).
3 Ответ: CD⊥(MBC).
Пояснение
Идея. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (п. 17): достаточно найти в плоскости MBC две пересекающиеся прямые, перпендикулярные CD. Это BC и BM.
- 1Смежные стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому CD⊥BC.
- 2BM перпендикулярна плоскости прямоугольника, а значит, любой прямой в ней, в частности CD.
- 3Прямые BC и BM пересекаются в точке B и обе лежат в плоскости MBC. Прямая CD перпендикулярна обеим, следовательно, перпендикулярна этой плоскости.
