Номер 200 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II

№200. Докажите, что любая точка прямой, которая проходит через центр окружности, описанной около многоугольника, и перпендикулярна к плоскости многоугольника, равноудалена от вершин этого многоугольника.

✎ Запись в тетрадь

Дано:

многоугольник

A_{1} \dots A_{n}

вписан в окружность с центром

O

;

l ⊥ α

O \in l

;

X \in l

Доказать:

X A_{1} = X A_{2} = \dots = X A_{n}

Многоугольник A₁…Aₙ, вписанный в окружность с центром O, и точка X на перпендикуляре к плоскости через O

A_{1} \dots A_{n}

вписан в окружность с центром

O

R

— её радиус.1

l ⊥ α

O \in l

;

X \in l

X \neq = O

XO ⊥ α

⇒

XO ⊥ O A_{i}

для всех

i

X A_{i}^{2} = X O^{2} + O A_{i}^{2} = X O^{2} + R^{2}

Правая часть не зависит от

i

⇒

X A_{1} = X A_{2} = \dots = X A_{n}

Если

X = O

, то

X A_{i} = O A_{i} = R

Ответ:

X A_{1} = X A_{2} = \dots = X A_{n}

Пояснение

Идея. Все расстояния $X A_{i}$ — гипотенузы прямоугольных треугольников с общим катетом $XO$ и равными вторыми катетами $O A_{i} = R$ . Поэтому они равны.

1Все вершины лежат на окружности, а центр $O$ — общая точка отрезков $O A_{i}$ , поэтому $O A_{i} = R$ для каждой вершины.
2Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе каждой $O A_{i}$ . Поэтому треугольник $XO A_{i}$ прямоугольный с прямым углом $O$ .
3По теореме Пифагора $X A_{i}^{2} = X O^{2} + R^{2}$ . Эта величина одинакова для всех вершин.
4Точка $X = O$ отдельный случай: треугольника нет, но расстояние до вершин и так равно $R$ .

Номер 200 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели