Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II
№199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника. Докажите, что прямая SM, где M — середина гипотенузы, перпендикулярна к плоскости треугольника.
✎ Запись в тетрадь
Дано:∠C=90∘; SA=SB=SC; S∈/(ABC); AM=MB
Доказать:SM⊥(ABC)
SA=SB=SC;
SO⊥(ABC),
O∈(ABC).
1 OA2=SA2−SO2,OB2=SB2−SO2,OC2=SC2−SO22 O — центр окружности, описанной около
△ABC.
3 ∠C=90∘ ⇒
O — середина гипотенузы
AB:
O=M.
3 SO⊥(ABC),
O=M ⇒
SM⊥(ABC).
4 Ответ: SM⊥(ABC).
Пояснение
Идея. Основание перпендикуляра, опущенного из S, равноудалено от вершин, потому что равные наклонные имеют равные проекции. Единственная такая точка — центр описанной окружности, а у прямоугольного треугольника это середина гипотенузы.
- 1S не лежит в плоскости треугольника, поэтому можно опустить перпендикуляр SO на эту плоскость. O — его основание.
- 2Треугольники SOA, SOB, SOC прямоугольные (прямой угол при O) с общим катетом SO и равными гипотенузами SA, SB, SC. Из теоремы Пифагора катеты OA, OB, OC тоже равны.
- 3Точка плоскости, равноудалённая от трёх вершин, — центр описанной окружности. У прямоугольного треугольника он лежит в середине гипотенузы, потому что вписанный угол C опирается на диаметр AB.
- 4O совпала с M, а SO перпендикулярна плоскости ABC по построению.
