Номер 202 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II

№202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние $10$ см. На каком расстоянии от плоскости треугольника находится эта точка, если медиана, проведённая к гипотенузе, равна $5$ см?

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

;

S A = SB = SC = 10

см;

CM = 5

см,

M \in A B

— середина

Найти:

ρ (S, (A BC))

Прямоугольный треугольник ABC, точка S на расстоянии 10 от вершин, середина M гипотенузы

S A = SB = SC = 10

;

CM = 5

M

— середина

A B

Зад. 199:

SM ⊥ (A BC)

, расстояние от

S

до плоскости —

SM

CM = A M = \frac{A B}{2} = 5

(медиана к гипотенузе).3

SM = S A^{2} - A M^{2} = 100 - 25 = 53

Ответ:

53

см.

Пояснение

Идея. Точка равноудалена от вершин прямоугольного треугольника, поэтому по задаче 199 её проекция на плоскость — середина гипотенузы. Расстояние до плоскости — катет $SM$ в прямоугольном треугольнике $SM A$ .

1Дано равенство расстояний от точки до трёх вершин и значение медианы к гипотенузе.
2Условие задачи 199 выполнено, значит, $SM ⊥ (A BC)$ , и искомое расстояние равно $SM$ .
3Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Отсюда $A M = 5$ .
4 $SM ⊥ A M$ , потому что $SM$ перпендикулярна плоскости треугольника. В прямоугольном треугольнике $SM A$ известны гипотенуза $S A = 10$ и катет $A M = 5$ .

Номер 202 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели