Номер 204 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC

— правильный;

OM ⊥ (A BC)

O

— центр;

OM = a

;

∠ MCO = φ

Найти:

а)

M A

MB

MC

;

ρ (M, A B)

ρ (M, BC)

ρ (M, C A)

; б) длина описанной окружности; в)

S_{A BC}

Правильный треугольник ABC с центром O, перпендикуляр OM, середина H стороны AB

а)

MO ⊥ (A BC)

⇒

△ MOC

прямоугольный;

R = OC = O A = OB

R = \frac{MO}{tg φ} = \frac{a}{tg φ}, MC = \frac{MO}{sin φ} = \frac{a}{sin φ}

M A = MB = MC = \frac{a}{sin φ}

(равные проекции

O A = OB = OC

).2

H

— середина

A B

O H ⊥ A B

O H = \frac{R}{2}

;

M H ⊥ A B

(п. 20).3

M H = M O^{2} + O H^{2} = a^{2} + \frac{a ^{2}}{4 tg ^{2} φ} = \frac{a}{2 tg φ} 1 + 4 tg^{2} φ

б)

C = 2 π R = \frac{2 πa}{tg φ}

в)

A B = R 3

S = \frac{A B ^{2} 3}{4} = \frac{3 3 R ^{2}}{4} = \frac{3 3 a ^{2}}{4 tg ^{2} φ}

Ответ: а)

\frac{a}{sin φ}

;

\frac{a}{2 tg φ} 1 + 4 tg^{2} φ

; б)

\frac{2 πa}{tg φ}

; в)

\frac{3 3 a ^{2}}{4 tg ^{2} φ}

Пояснение

Идея. Центр правильного треугольника совпадает с центром описанной окружности. Поэтому $O A = OB = OC = R$ — все расстояния от $M$ до вершин равны, а до сторон считаем по теореме о трёх перпендикулярах.

1 $MO$ перпендикулярна плоскости, значит, перпендикулярна и $OC$ . В прямоугольном треугольнике $MOC$ катет $MO = a$ лежит против угла $φ$ .
2Гипотенуза $MC$ — расстояние от $M$ до вершины. Три вершины равноудалены от $O$ , поэтому по теореме Пифагора они равноудалены и от $M$ .
3 $O H$ — радиус вписанной окружности, он равен половине радиуса описанной и перпендикулярен стороне. Наклонная $M H$ тоже перпендикулярна $A B$ (теорема о трёх перпендикулярах, п. 20), значит, $M H$ — искомое расстояние до стороны, одинаковое для всех трёх сторон.
4Длина окружности — $2 π R$ с радиусом $R = OC$ из пункта а).
5Сторона правильного треугольника через радиус описанной окружности — $R 3$ . Площадь правильного треугольника со стороной $b$ равна $\frac{b ^{2} 3}{4}$ .

Номер 204 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели