Номер 205 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

∠ C = 9 0^{\circ}

;

C D ⊥ (A BC)

;

C A = 3

дм,

CB = 2

дм,

C D = 1

дм

Найти:

S_{A B D}

Прямоугольный треугольник ABC, перпендикуляр CD к его плоскости, высота CH и наклонная DH

A B = C A^{2} + C B^{2} = 9 + 4 = 13

C H ⊥ A B

;

C D ⊥ (A BC)

⇒

DH ⊥ A B

(т. о трёх перпендикулярах).2

C H = \frac{C A \cdot CB}{A B} = \frac{6}{13}

DH = C D^{2} + C H^{2} = 1 + \frac{36}{13} = \frac{7}{13}

S_{A B D} = \frac{1}{2} A B \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot \frac{7}{13} = 3, 5

Ответ:

3, 5

дм

^{2}

Пояснение

Идея. Площадь треугольника $A B D$ — половина произведения основания $A B$ на высоту $DH$ . Высота из $D$ к $A B$ — наклонная, её основание — основание высоты $C H$ треугольника $A BC$ (теорема о трёх перпендикулярах).

1 $A B$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $A BC$ , находим по теореме Пифагора.
2 $C H$ — высота треугольника $A BC$ , то есть проекция наклонной $DH$ на плоскость $A BC$ перпендикулярна $A B$ . По теореме о трёх перпендикулярах (п. 20) $DH ⊥ A B$ , значит, $DH$ — высота треугольника $A B D$ .
3Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.
4Треугольник $D C H$ прямоугольный: $D C ⊥ (A BC)$ , а значит, $D C ⊥ C H$ . Находим $DH$ по теореме Пифагора.
5Площадь треугольника — половина произведения стороны на проведённую к ней высоту. Корни сокращаются.

Номер 205 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели