Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 61, Доп. задачи к гл. II
№206. Стороны треугольника равны 17 см, 15 см и 8 см. Через вершину A меньшего угла треугольника проведена прямая AM, перпендикулярная к его плоскости. Определите расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника, если известно, что AM=20 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:AB=15, BC=8, AC=17 см; AM⊥(ABC), AM=20 см
Найти:ρ(M,BC)
⇒
△ABC прямоугольный,
∠B=90∘;
BC=8,
AB=15,
AC=17.
1Меньший угол
A лежит против меньшей стороны
BC.
1AB⊥BC,
AM⊥(ABC) ⇒
MB⊥BC (т. о трёх перпендикулярах).
2 Ответ: 25 см.
Пояснение
Идея. Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Сначала узнаём вид треугольника, затем по теореме о трёх перпендикулярах находим основание перпендикуляра из M на сторону.
- 1Сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей, значит, треугольник прямоугольный (обратная теорема Пифагора), а 17 — гипотенуза. Меньший угол лежит против меньшей стороны 8, то есть это угол A; значит, A — конец катета AB=15, а BC — катет 8.
- 2AB — проекция наклонной MB на плоскость и перпендикулярна BC, поэтому и наклонная MB⊥BC (п. 20). Отрезок MB — искомое расстояние.
- 3Треугольник MAB прямоугольный: MA⊥(ABC), значит, MA⊥AB. Находим гипотенузу MB.
