Номер 207 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A B = BC = 13

см,

A C = 10

см;

ρ (M, A B) = ρ (M, BC) = ρ (M, A C) = 8 \frac{2}{3}

см; проекция

M

— внутри

△ A BC

Найти:

ρ (M, (A BC))

Равнобедренный треугольник ABC, точка M над центром O вписанной окружности, перпендикуляры к сторонам

MO ⊥ (A BC)

;

M H_{i} ⊥

сторонам,

M H_{i} = \frac{26}{3}

MO ⊥ (A BC)

M H_{i} ⊥

стороне ⇒

O H_{i} ⊥

стороне (зад. 153).2

O H_{i} = M H_{i}^{2} - M O^{2} \Rightarrow O H_{1} = O H_{2} = O H_{3}

O

внутри

△ A BC

и равноудалена от сторон ⇒

O

— центр вписанной окружности,

O H_{i} = r

B H_{1} = 1 3^{2} - 5^{2} = 12, S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60, p = 18, r = \frac{S}{p} = \frac{10}{3}

MO = M H_{i}^{2} - r^{2} = \frac{676}{9} - \frac{100}{9} = 64 = 8

Ответ:

8

см.

Пояснение

Идея. Основание перпендикуляра из $M$ на плоскость равноудалено от сторон, а внутри треугольника такая точка одна — центр вписанной окружности. Радиус находим по площади, высоту $MO$ — из прямоугольного треугольника.

1Расстояние от точки до прямой — перпендикуляр. $H_{1}$ , $H_{2}$ , $H_{3}$ — основания перпендикуляров из $M$ на $A C$ , $A B$ , $BC$ ; все три отрезка равны $8 \frac{2}{3} = \frac{26}{3}$ .
2Наклонная $M H_{i}$ перпендикулярна стороне, а $MO$ перпендикулярен плоскости — значит, и проекция $O H_{i}$ перпендикулярна этой стороне (обратная теорема, задача 153). Поэтому $O H_{i}$ — расстояние от $O$ до стороны.
3В треугольниках $MO H_{i}$ гипотенуза и катет $MO$ общие, значит, $O H_{1} = O H_{2} = O H_{3}$ . Точка внутри треугольника, равноудалённая от его сторон, — центр вписанной окружности.
4Высота $B H_{1}$ равнобедренного треугольника — медиана, $A H_{1} = 5$ . Радиус вписанной окружности — площадь, делённая на полупериметр.
5Треугольник $MO H_{i}$ прямоугольный: $MO ⊥ O H_{i}$ . Находим катет $MO$ .

Номер 207 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели