Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№30. Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости α, а вершина C лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости α; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости α.
✎ Запись в тетрадь
Дано:ABCD — трапеция, AB∥CD; AB∥α, C∈α; MN — средняя линия
Доказать:а) CD⊂α; б) MN∥α
а)
α∩(ABC) — прямая
l∋C;
AB∥α ⇒
l∥AB (п. 6, утв. 1°).
1 CD∥AB ⇒
CD и
l — прямые через
C, параллельные
AB, в одной плоскости.
2 Такая прямая единственна ⇒
CD=l ⇒
CD⊂α.
2б)
M,
N — середины
AD,
BC:
MN∥CD и
MN=CD.
3 MN⊂(ABC) и
MN⊂α ⇒
MN⊂α∩(ABC)=CD — невозможно.
4 MN∥CD⊂α,
MN⊂α ⇒
MN∥α (п. 6).
5 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. В части а) плоскость трапеции пересекает α по прямой, параллельной AB (п. 6, утв. 1°); через C в плоскости трапеции проходит только одна прямая, параллельная AB, и это CD. В части б) применяем признак параллельности прямой и плоскости.
- 1Плоскость трапеции проходит через AB, параллельную α, и имеет с α общую точку C. Значит, плоскости пересекаются по прямой l через C, и l∥AB по утверждению 1°.
- 2В одной плоскости через точку вне данной прямой проходит единственная параллельная ей прямая. Основания трапеции параллельны, поэтому CD — такая же прямая, как l, они совпадают.
- 3Средняя линия параллельна основаниям. Она не совпадает с CD: от каждого основания её отделяет ненулевое расстояние.
- 4Предположим, что MN лежит в α. Она лежит ещё и в плоскости трапеции, то есть в линии пересечения плоскостей, а это прямая CD. Получаем противоречие, поэтому MN в α не лежит.
- 5Выполнены оба условия признака: MN не лежит в α и параллельна прямой CD, которая лежит в α (по а)).
