Номер 210 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра. Оба перпендикуляра — катеты прямоугольных треугольников с общей гипотенузой $XM$ и одинаковыми острыми углами при $M$, поэтому они равны.

1. 1Берём произвольную точку $X$ грани $ABP$ и опускаем перпендикуляры: $XM$ — на ребро, $XY$ и $XZ$ — на плоскости $ABH$ и $ABQ$ (они и есть искомые расстояния).
2. 2$XY$ — перпендикуляр, $XM$ — наклонная, $YM$ — проекция. Наклонная перпендикулярна ребру, значит, и проекция перпендикулярна ему (п. 20). Лучи $MX$ и $MY$ лежат в гранях и перпендикулярны ребру, поэтому $\angle XMY$ — линейный угол двугранного угла $HABP$.
3. 3Те же рассуждения для плоскости $ABQ$ дают линейный угол $XMZ$ угла $PABQ$. По условию двугранные углы равны, значит, равны и их линейные углы.
4. 4В прямоугольных треугольниках $XYM$ и $XZM$ гипотенуза $XM$ общая, а углы при $M$ равны, поэтому катеты $XY$ и $XZ$ равны.

Частая ошибка. Точка $X$ может лежать и на продолжении грани за ребро. Тогда линейные углы дополняют $\phi$ до $180^{\circ }$, а синус от этого не меняется.