Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 62, Доп. задачи к гл. II
№212. Точка C является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Докажите, что площадь треугольника ABD равна cosαS, где S — площадь треугольника ABC, а α — угол между плоскостями ABC и ABD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:DC⊥(ABC); S=SABC; α — угол между (ABC) и (ABD)
Доказать:SABD=cosαS
CH⊥AB ⇒
DH⊥AB (т. о трёх перпендикулярах).
2 ∠DHC=α — линейный угол двугранного угла
DABC.
2 S=21AB⋅CH,SABD=21AB⋅DH3 CH=DHcosα ⇒ S=SABDcosα ⇒ SABD=cosαS4 Ответ: SABD=cosαS.
Пояснение
Идея. Оба треугольника имеют общее основание AB, поэтому их площади относятся как высоты. Высоты — CH и наклонная DH, а связывает их угол между плоскостями.
- 1Проводим в плоскости ABC высоту CH. C — проекция D, значит, DC перпендикулярна плоскости, DH — наклонная, CH — её проекция.
- 2Проекция CH перпендикулярна AB, поэтому и наклонная DH⊥AB (п. 20). Лучи HC и HD лежат в плоскостях и перпендикулярны ребру AB, значит, ∠DHC — линейный угол между плоскостями.
- 3CH — высота треугольника ABC, DH — высота треугольника ABD к той же стороне AB.
- 4Треугольник DCH прямоугольный (угол C прямой), CH — прилежащий катет угла α. Делим S на SABD: общие множители сокращаются.
Частая ошибка. Если α=90∘, то C лежит на AB и формула теряет смысл: в условии α — острый угол.
