Номер 211 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 62, Доп. задачи к гл. II

№211. Плоскости правильного треугольника $KD M$ и квадрата $K MNP$ взаимно перпендикулярны. Найдите $D N$ , если $K M = a$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

KD M

— правильный,

K MNP

— квадрат;

(KD M) ⊥ (K MNP)

;

K M = a

Найти:

D N

Правильный треугольник KDM и квадрат KMNP в перпендикулярных плоскостях, высота DE и отрезок DN

E

— середина

K M

;

D E ⊥ K M

D E = \frac{a 3}{2}

(KD M) ⊥ (K MNP)

D E ⊥ K M

⇒

D E ⊥ (K MNP)

(зад. 178) ⇒

D E ⊥ EN

EN = E M^{2} + M N^{2} = \frac{a ^{2}}{4} + a^{2} = \frac{a 5}{2}

D N = D E^{2} + E N^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} + \frac{5 a ^{2}}{4} = a 2

Ответ:

a 2

Пояснение

Идея. $D N$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $D EN$ . Катет $D E$ — высота правильного треугольника, а его перпендикулярность плоскости квадрата следует из перпендикулярности плоскостей.

1В правильном треугольнике высота $D E$ — ещё и медиана, поэтому $E$ — середина $K M$ . Высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a 3}{2}$ .
2 $K M$ — линия пересечения плоскостей, $D E$ лежит в одной из них и перпендикулярна $K M$ . По задаче 178 такая прямая перпендикулярна второй плоскости, значит, и любой прямой $EN$ в ней.
3Треугольник $EMN$ прямоугольный: $MN ⊥ K M$ как стороны квадрата, $EM = \frac{a}{2}$ .
4Треугольник $D EN$ прямоугольный с прямым углом $E$ , $D N$ — его гипотенуза.

Номер 211 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели