Номер 213 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC

D BC

— правильные;

BC

— общая;

D

проектируется в центр

O

треугольника

A BC

Найти:

угол

φ

между

(A BC)

(D BC)

Правильные треугольники ABC и DBC с общей стороной BC, центр O, середина M стороны BC

BC = a

;

M

— середина

BC

;

O

— центр

△ A BC

D O ⊥ (A BC)

A M ⊥ BC

D M ⊥ BC

⇒

∠ A M D = φ

— линейный угол.2

D M = \frac{a 3}{2}, OM = \frac{1}{3} A M = \frac{a 3}{6}

cos φ = \frac{OM}{D M} = \frac{a 3 /6}{a 3 /2} = \frac{1}{3}

φ = arccos \frac{1}{3} \approx 7 0^{\circ} 3 2^{'}

Ответ:

cos φ = \frac{1}{3}

φ \approx 7 0^{\circ} 3 2^{'}

Пояснение

Идея. Угол между плоскостями измеряем линейным углом при общей стороне $BC$ : медианы-высоты $A M$ и $D M$ обоих правильных треугольников перпендикулярны ей. Косинус находим из прямоугольного треугольника $D OM$ .

1Общая сторона $BC$ — ребро двугранного угла. Центр правильного треугольника лежит на его высоте $A M$ .
2В правильном треугольнике высота $A M$ — ещё и медиана, значит, $M$ — середина $BC$ и $A M ⊥ BC$ . Для треугольника $D BC$ так же $D M ⊥ BC$ . Лучи $M A$ и $M D$ лежат в плоскостях и перпендикулярны ребру — угол $A M D$ линейный.
3 $D M$ — высота правильного треугольника со стороной $a$ . Центр делит медиану в отношении $2 : 1$ от вершины, поэтому $OM$ — треть $A M$ .
4 $D O ⊥ (A BC)$ , значит, $D O ⊥ OM$ : треугольник $D OM$ прямоугольный, $OM$ — катет, прилежащий к углу $φ$ , $D M$ — гипотенуза.

Номер 213 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели