Номер 214 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 62, Доп. задачи к гл. II

№214. Проекцией прямоугольника $A BC D$ на плоскость $α$ является квадрат $A B C_{1} D_{1}$ . Вычислите угол $φ$ между плоскостью $α$ и плоскостью прямоугольника $A BC D$ , если $A B : BC = 1 : 2$ .

✎ Запись в тетрадь

Дано:

A BC D

— прямоугольник;

A B C_{1} D_{1}

— его проекция на

α

, квадрат;

A B : BC = 1 : 2

Найти:

угол

φ

между

α

(A BC D)

Прямоугольник ABCD и его проекция — квадрат ABC₁D₁ на плоскости α

A B = a

BC = 2 a

;

C C_{1} ⊥ α

;

A B C_{1} D_{1}

— квадрат ⇒

B C_{1} = a

A B ⊥ B C_{1}

B C_{1}

— проекция

BC

⇒

A B ⊥ BC

∠ CB C_{1} = φ

— линейный угол двугранного угла

C A B C_{1}

cos φ = \frac{B C _{1}}{BC} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

φ = 6 0^{\circ}

Ответ:

6 0^{\circ}

Пояснение

Идея. Сторона $A B$ лежит и в $α$ , и в плоскости прямоугольника — это ребро угла. Линейный угол образуют стороны $BC$ и её проекция $B C_{1}$ , обе перпендикулярные $A B$ .

1Проекция точки $C$ на $α$ — вершина $C_{1}$ квадрата, значит, $C C_{1} ⊥ α$ . В квадрате $B C_{1} = A B = a$ , а $BC = 2 a$ по условию.
2В прямоугольнике $A B ⊥ BC$ , в квадрате $A B ⊥ B C_{1}$ . Лучи $BC$ и $B C_{1}$ лежат в разных плоскостях и перпендикулярны ребру, поэтому $∠ CB C_{1}$ — линейный угол между плоскостями.
3Треугольник $C C_{1} B$ прямоугольный: $C C_{1} ⊥ B C_{1}$ . Катет $B C_{1}$ прилежит к углу $φ$ , гипотенуза — $BC$ .

Номер 214 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели