Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 62, Доп. задачи к гл. II
№215. Параллельные прямые AB и CD лежат в разных гранях двугранного угла, равного 60∘. Точки A и D удалены от ребра двугранного угла соответственно на 8 см и 6,5 см. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
✎ Запись в тетрадь
Дано:двугранный угол 60∘, ребро ℓ; AB⊂α, CD⊂β, AB∥CD; ρ(A,ℓ)=8 см, ρ(D,ℓ)=6,5 см
Найти:ρ(AB,CD)
AB∥CD,
CD⊂β ⇒
AB∥β (признак, п. 6).
1 AB⊂α,
α∩β=ℓ ⇒
AB∥ℓ и
CD∥ℓ (п. 6, утв. 1°).
1 Плоскость
γ⊥ℓ через
A перпендикулярна и
AB, и
CD;
D∈γ (сдвинем
D вдоль
CD).
2AD⊥AB,
AD⊥CD ⇒
AD — расстояние между прямыми.
2 OA⊥ℓ,
OD⊥ℓ (
O=γ∩ℓ) ⇒
∠AOD=60∘;
OA=8,
OD=6,5.
3 AD2=82+6,52−2⋅8⋅6,5⋅cos60∘=64+42,25−52=42174 Пояснение
Идея. Параллельные прямые в гранях двугранного угла параллельны его ребру. Тогда сечение плоскостью, перпендикулярной ребру, даёт треугольник с известным углом 60∘ и двумя сторонами, а расстояние между прямыми — его третья сторона.
- 1Прямая AB параллельна прямой CD, лежащей в β, и не лежит в β — значит, параллельна плоскости β. Плоскость α проходит через AB и пересекает β по ребру, поэтому AB параллельна ребру ℓ. Тогда и CD∥ℓ.
- 2Расстояние от точки до ребра не меняется при сдвиге точки вдоль прямой, параллельной ребру. Поэтому D можно считать лежащей в плоскости γ, проведённой через A перпендикулярно ℓ. Эта плоскость перпендикулярна AB и CD, поэтому AD перпендикулярен обеим прямым — это общий перпендикуляр.
- 3Прямые OA и OD лежат в гранях и перпендикулярны ребру, значит, ∠AOD — линейный угол двугранного угла.
- 4Треугольник AOD задан двумя сторонами и углом между ними — находим третью сторону по теореме косинусов.
