Номер 216 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

двугранный угол

12 0^{\circ}

;

A, B \in

ребру;

A C ⊥ A B

B D ⊥ A B

в разных гранях;

A B = A C = B D = a

Найти:

C D

Двугранный угол 120° с ребром ℓ, перпендикуляры AC и BD к ребру в разных гранях, вспомогательная точка E

Проведём

A E ∥ B D

E

в грани с

B D

A E = a

A B D E

— параллелограмм с прямым углом

B

⇒ прямоугольник;

E D ∥ A B

E D = a

A C ⊥ A B

A E ⊥ A B

⇒

∠ C A E = 12 0^{\circ}

— линейный угол.2

C E^{2} = a^{2} + a^{2} - 2 a^{2} cos 12 0^{\circ} = 3 a^{2}

A B ⊥ (A CE)

E D ∥ A B

⇒

E D ⊥ (A CE)

⇒

E D ⊥ CE

C D = C E^{2} + E D^{2} = 3 a^{2} + a^{2} = 2 a

Ответ:

2 a

Пояснение

Идея. Концы $C$ и $D$ лежат в разных гранях, поэтому напрямую $C D$ не найти. Перенесём $B D$ параллельно в точку $A$ : отрезок $A E$ вместе с $A C$ даёт треугольник с линейным углом $12 0^{\circ}$ , а $E D$ окажется перпендикулярен его плоскости.

1Прямая $A E$ параллельна $B D$ и проходит через точку $A$ грани, поэтому лежит в этой грани. У четырёхугольника $A B D E$ две стороны равны и параллельны, значит, это параллелограмм, а угол $B$ прямой — получился прямоугольник.
2 $A E ∥ B D ⊥ A B$ , значит, $A E ⊥ A B$ ; $A C ⊥ A B$ по условию. Лучи $A C$ и $A E$ лежат в гранях и перпендикулярны ребру, поэтому угол $C A E$ линейный и равен $12 0^{\circ}$ .
3В треугольнике $C A E$ известны две стороны и угол между ними — теорема косинусов. $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
4Ребро $A B$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым $A C$ и $A E$ плоскости $A CE$ , значит, перпендикулярно этой плоскости. $E D ∥ A B$ , поэтому $E D$ тоже перпендикулярна плоскости $A CE$ и, в частности, прямой $CE$ .
5Треугольник $CE D$ прямоугольный с прямым углом $E$ .

Номер 216 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели