Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 62, Доп. задачи к гл. II
№217. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. Найдите диагональ параллелепипеда.
✎ Запись в тетрадь
Дано:прямоугольный параллелепипед; a:b:c=3:7:8; S1+S2+S3=404 дм2
Найти:диагональ d
Измерения
3k,
7k,
8k (
k>0).
1S1+S2+S3=3k⋅7k+7k⋅8k+3k⋅8k=101k22 Измерения:
6 дм,
14 дм,
16 дм.
2d2=62+142+162=36+196+256=4883 Пояснение
Идея. Рёбра задаём через один неизвестный множитель k: тогда сумма площадей даёт уравнение для k. Диагональ находим по теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда (п. 24).
- 1«Пропорциональны 3, 7 и 8» значит, что рёбра можно записать как 3k, 7k, 8k с одним и тем же k.
- 2Каждая из трёх граней при вершине — прямоугольник со сторонами из двух разных рёбер. Складываем три попарных произведения, получаем уравнение и находим k (положительный корень).
- 3Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений. Корень из 488 упрощаем: 488=4⋅122.
