Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№31. Плоскость α параллельна стороне BC треугольника ABC и проходит через середину стороны AB. Докажите, что плоскость α проходит также через середину стороны AC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∥BC; M — середина AB, M∈α
Доказать:α проходит через середину AC
M — середина
AB,
M∈α,
N — середина
AC.
1 α=(ABC) (
BC∥α), общая точка
M ⇒
α∩(ABC)=l∋M.
2 BC∥α,
BC⊂(ABC) ⇒
l∥BC (п. 6, утв. 1°).
3 MN — средняя линия
△ABC ⇒
MN∥BC.
4 Через
M в
(ABC) одна прямая, параллельная
BC ⇒
l=MN ⇒
N∈α.
4Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Находим, по какой прямой плоскость α пересекает плоскость треугольника: она параллельна BC (п. 6, утв. 1°) и проходит через M. Прямая с такими свойствами в плоскости треугольника только одна, и это средняя линия.
- 1Нужно показать, что середина N стороны AC лежит в α. Сначала N просто отмечаем и ничего про неё не предполагаем.
- 2Плоскость α не совпадает с плоскостью треугольника: иначе BC лежала бы в α, а не была бы параллельна ей. Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой, назовём её l.
- 3Утверждение 1°: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой. Здесь плоскость — (ABC), прямая — BC.
- 4Средняя линия MN тоже проходит через M и параллельна BC. В плоскости ABC через точку M можно провести только одну прямую, параллельную BC, поэтому MN и l — одна и та же прямая, а она лежит в α.
