Номер 218 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

призма

A_{1} \dots A_{n} B_{1} \dots B_{n}

; а) прямая; б) правильная

Доказать:

а) грани — прямоугольники; б) грани — равные прямоугольники

Прямая треугольная призма ABCA₁B₁C₁ с боковыми гранями-прямоугольниками

а)

Боковая грань

A A_{1} B_{1} B

— параллелограмм (по определению призмы).1

Призма прямая:

A A_{1} ⊥ (A BC)

⇒

A A_{1} ⊥ A B

Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Для остальных граней так же. ∎2

б)

Правильная призма — прямая, значит, по а) грани — прямоугольники.3

Основание — правильный многоугольник: стороны равны

a

; боковые рёбра равны

h

Все грани — прямоугольники

a \times h

⇒ они равны. ∎3

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Грань призмы — параллелограмм, а прямой угол в нём даёт перпендикулярность бокового ребра основанию. Равенство граней у правильной призмы следует из равенства сторон основания и боковых рёбер.

1По определению призмы (п. 30) каждая боковая грань — параллелограмм: у $A A_{1} B_{1} B$ противоположные стороны $A A_{1}$ и $B B_{1}$ равны и параллельны.
2Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Если ребро $A A_{1}$ перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно любой прямой в ней, в том числе стороне $A B$ .
3Правильная призма — прямая призма, в основании которой правильный многоугольник. Прямоугольник определяется двумя соседними сторонами: у каждой боковой грани это сторона основания $a$ и боковое ребро $h$ . Эти длины одинаковы для всех граней.

Номер 218 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели