Номер 225 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

правильная призма

A BC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

;

∠ (B D_{1}, (A A_{1} D_{1})) = 3 0^{\circ}

Найти:

φ = ∠ (B D_{1}, (A BC))

Правильная четырёхугольная призма, диагональ BD₁, её проекции AD₁ и BD

A B = a

D D_{1} = h

B A ⊥ (A A_{1} D_{1})

⇒

A D_{1}

— проекция

B D_{1}

⇒

∠ B D_{1} A = 3 0^{\circ}

B D_{1} = \frac{A B}{sin 3 0 ^{\circ}} = 2 a

B D_{1}^{2} = 2 a^{2} + h^{2} \Rightarrow 4 a^{2} = 2 a^{2} + h^{2} \Rightarrow h = a 2

D D_{1} ⊥ (A BC)

⇒

∠ D_{1} B D = φ

— угол с плоскостью основания.4

sin φ = \frac{D D _{1}}{B D _{1}} = \frac{a 2}{2 a} = \frac{2}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

Ответ:

4 5^{\circ}

Пояснение

Идея. Угол диагонали с плоскостью — угол между диагональю и её проекцией на эту плоскость. Угол с боковой гранью даёт диагональ через сторону основания, а затем теорема о диагонали параллелепипеда находит высоту.

1Ребро $B A$ перпендикулярно грани $A A_{1} D_{1} D$ , поэтому проекция $B D_{1}$ на эту грань — отрезок $A D_{1}$ , и искомый угол — $∠ B D_{1} A$ . Основание — квадрат со стороной $a$ .
2В прямоугольном треугольнике $B A D_{1}$ катет $B A$ лежит против угла $3 0^{\circ}$ , значит, он вдвое меньше гипотенузы.
3Квадрат диагонали призмы равен сумме квадратов измерений $a$ , $a$ и $h$ (п. 24).
4Ребро $D D_{1}$ перпендикулярно основанию, поэтому проекция $B D_{1}$ на основание — $B D$ , и $∠ D_{1} B D = φ$ . В треугольнике $D_{1} D B$ катет $D D_{1}$ лежит против $φ$ .

Номер 225 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели