Номер 228 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Грань $C{C}_1{B}_{1}B$ — параллелограмм со сторонами $BC$ и $B{B}_1=A{A}_1$. Нужно доказать, что боковое ребро перпендикулярно $BC$ (тогда это прямоугольник), и найти длину $A{A}_1$ по условию о проекции и угле.

1. 1В равнобедренном треугольнике медиана $AM$ к основанию является высотой; $BM$ — половина $BC$. Длину $AM$ находим по теореме Пифагора.
2. 2Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
3. 3$O$ — проекция $A_1$, значит, $A_{1}O$ перпендикулярна плоскости основания, а $AO$ — проекция ребра $A{A}_1$. Угол между ребром и плоскостью — $\angle A_{1}AO=45^{\circ }$, поэтому прямоугольный треугольник $A_{1}AO$ равнобедренный.
4. 4Точка $O$ лежит на $AM$, так что плоскость $A_{1}AM$ содержит и $A_{1}O$, и $AM$. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, а значит, и всей плоскости.
5. 5Боковые рёбра параллельны, поэтому $BC\perp B{B}_1$ и параллелограмм $C{C}_1{B}_{1}B$ — прямоугольник. Его площадь равна произведению соседних сторон.