Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 14, §1 Параллельность прямых, прямой и плоскости
№32. Плоскости α и β пересекаются по прямой AB. Прямая a параллельна как плоскости α, так и плоскости β. Докажите, что прямые a и AB параллельны.
✎ Запись в тетрадь
Дано:α∩β=AB; a∥α, a∥β
Доказать:a∥AB
a∥α,
A∈α ⇒
AM⊂α (п. 6, утв. 2°).
2 Ответ: доказано.
Пояснение
Идея. Строим через общую точку A плоскостей прямую AM, параллельную a, и показываем, что она лежит сразу в обеих плоскостях. Единственная прямая, лежащая в обеих плоскостях, — их линия пересечения AB.
- 1Через точку A вне прямой a проходит прямая, параллельная a. Назовём её AM.
- 2Утверждение 2° (п. 6): если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней. Прямая AM содержит точку A плоскости α, поэтому параллельной α быть не может и лежит в ней. То же рассуждение для β.
- 3Общие точки плоскостей α и β образуют прямую AB, а AM лежит и там, и там, значит, совпадает с ней. Тогда AB параллельна a, как и AM.
