Номер 235 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

прямая призма;

∠ C = 9 0^{\circ}

∠ A = φ

; сечение

BC A_{1}

∠ (BC A_{1}, (A BC)) = θ

Найти:

S_{бок} : S_{BC A_{1}}

Прямая призма, сечение BCA₁ образует угол θ с основанием

∠ C = 9 0^{\circ}

∠ A = φ

, сечение —

△ BC A_{1}

. Пусть

A C = b

BC ⊥ A C

BC ⊥ C C_{1}

⇒

BC ⊥ (A C C_{1})

⇒

BC ⊥ A_{1} C

A C ⊥ BC

A_{1} C ⊥ BC

⇒

∠ A_{1} C A = θ

BC = b tg φ, A B = \frac{b}{cos φ}, A A_{1} = b tg θ, A_{1} C = \frac{b}{cos θ}

S_{бок} = (A C + BC + A B) \cdot A A_{1} = b^{2} tg θ (1 + tg φ + \frac{1}{cos φ})

S_{BC A_{1}} = \frac{1}{2} BC \cdot A_{1} C = \frac{b ^{2} tg φ}{2 cos θ}

\frac{S _{бок}}{S _{BC A_{1}}} = \frac{2 sin θ ( 1 + sin φ + cos φ )}{sin φ}

1 + cos φ + sin φ = 2 cos \frac{φ}{2} (cos \frac{φ}{2} + sin \frac{φ}{2}) = 22 cos \frac{φ}{2} cos (\frac{φ}{2} - \frac{π}{4})

\frac{S _{бок}}{S _{BC A_{1}}} = \frac{2 2 cos ( \frac{φ}{2} - \frac{π}{4} ) sin θ}{sin \frac{φ}{2}}

Ответ:

\frac{2 2 cos ( \frac{φ}{2} - \frac{π}{4} ) sin θ}{sin \frac{φ}{2}}

Пояснение

Идея. Сечение — треугольник $BC A_{1}$ , угол $θ$ его с основанием — линейный угол при ребре $BC$ . Все размеры выражаем через катет $b = A C$ и два угла, а затем упрощаем отношение до формулы из учебника.

1Принимаем за единицу меры катет $b = A C$ : в ответе он сократится.
2Ребро $BC$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым плоскости $A C C_{1}$ ( $A C$ и $C C_{1}$ ), поэтому перпендикулярно и $A_{1} C$ . Прямые $C A$ (в основании) и $C A_{1}$ (в сечении) перпендикулярны ребру $BC$ двугранного угла, значит, $∠ A_{1} C A = θ$ — линейный угол.
3Катеты и гипотенузу $△ A BC$ выражаем через $b$ и $φ$ . Высоту призмы $A A_{1}$ и $A_{1} C$ берём из прямоугольного $△ A_{1} A C$ с углом $θ$ при вершине $C$ .
4Боковая поверхность прямой призмы — периметр основания на высоту (п. 30). Площадь сечения — половина произведения $BC$ на $A_{1} C$ , так как $BC ⊥ A_{1} C$ .
5В отношении сокращается $b^{2}$ , а $tg θ cos θ = sin θ$ . Скобку делим на $tg φ$ : $\frac{1 + tg φ + 1/ cos φ}{tg φ} = \frac{1 + sin φ + cos φ}{sin φ}$ .
6Числитель $1 + cos φ$ превращаем по формуле половинного угла ( $1 + cos φ = 2 cos^{2} \frac{φ}{2}$ ), $sin φ = 2 sin \frac{φ}{2} cos \frac{φ}{2}$ , а сумму $cos x + sin x$ записываем как $2 cos (x - \frac{π}{4})$ . Множитель $cos \frac{φ}{2}$ сокращается.

Проверка. Подстановка $φ = 6 0^{\circ}$ , $θ = 4 5^{\circ}$ : форма до преобразования даёт $\frac{2 \cdot 0 , 707 \cdot ( 1 + 0 , 866 + 0 , 5 )}{0 , 866} \approx 3, 86$ , итоговая формула — то же число.

Номер 235 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели