Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 71, §1 Понятие многогранника. Призма
№231. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60∘. Меньшая из площадей диагональных сечений равна 130 см2. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
✎ Запись в тетрадь
Дано:
прямой параллелепипед; AB=8 см, AD=15 см, ∠A=60∘; Sдиаг. сеч.min=130 см2
Идея. Диагональное сечение прямого параллелепипеда — прямоугольник: одна сторона — диагональ основания, другая — высота. Меньшая площадь у сечения по меньшей диагонали. Из неё находим высоту и затем всю поверхность.
1У параллелограмма с углом 60∘ две диагонали разной длины: меньшая лежит против угла 60∘ и считается по теореме косинусов с минусом, большая — с плюсом (угол при другой вершине равен 120∘).
2Боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому диагональное сечение — прямоугольник со сторонами BD и h. При одной высоте площадь тем меньше, чем короче диагональ.
3Боковая поверхность прямой призмы — периметр основания на высоту (п. 30).
4Площадь параллелограмма — произведение смежных сторон на синус угла между ними. Полная поверхность — боковая плюс два основания.
Частая ошибка. Меньшее сечение — по меньшей диагонали основания. Если взять диагональ 409, высота получится неверной.
