Номер 233 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Из перпендикулярности плоскостей получаем, что $BD$ — высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе. Её длину даёт метрическое соотношение, а сечение оказывается прямоугольником с известной высотой призмы.

1. 1Призма прямая, значит, боковые рёбра перпендикулярны основанию. Плоскость, проходящая через перпендикуляр к другой плоскости, ей перпендикулярна (п. 23), — и $B{B}_1{D}_{1}D$, и $A{A}_1{C}_{1}C$ перпендикулярны основанию. Две плоскости, перпендикулярные третьей, пересекаются по прямой, перпендикулярной ей (задача 183): $D{D}_1\perp (ABC)$.
2. 2Линейный угол двугранного угла при ребре $D{D}_1$ образован лучами $DB$ и $DA$ в основании, а значит, равен $90^{\circ }$ — плоскости перпендикулярны. Поэтому $BD\perp AC$.
3. 3В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу, а они равны $AD$ и $DC$ (курс 8 класса).
4. 4Рёбра $B{B}_1$ и $D{D}_1$ параллельны и перпендикулярны $BD$, поэтому сечение — прямоугольник со сторонами $BD$ и $B{B}_1=A{A}_1$.