Номер 245 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Две перпендикулярные основанию боковые грани пересекаются по ребру, перпендикулярному основанию — это высота пирамиды. Углы $30^{\circ }$ и $45^{\circ }$ превращают задачу в прямоугольные треугольники с общим катетом $SA$.

1. 1Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия их пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости (задача 183). Линия пересечения граней $SAB$ и $SAD$ — ребро $SA$.
2. 2$AB$ — проекция $SB$ на основание, $BC\perp AB$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $BC\perp SB$. Прямые $AB$ и $SB$ лежат в основании и в грани $SBC$ и перпендикулярны $BC$, значит, $\angle SBA$ — линейный угол двугранного угла при ребре $BC$. Для грани $SCD$ — аналогично, $\angle SDA$.
3. 3В прямоугольных треугольниках $SAB$ и $SAD$ общий катет $SA$; стороны основания выражаются через $\mathrm{ctg}$ углов. Диагональ прямоугольника по теореме Пифагора даёт $h$.
4. 4Грани $SAB$, $SAD$ — прямоугольные треугольники с прямым углом $A$.
5. 5Грани $SBC$ и $SCD$ — прямоугольные, прямые углы при $B$ и $D$: катеты — сторона основания и боковое ребро. Рёбра $SB$ и $SD$ — гипотенузы треугольников $SAB$ и $SAD$.
6. 6Полная поверхность — основание и четыре боковые грани.

Частая ошибка. Углы $30^{\circ }$ и $45^{\circ }$ можно приписать граням двумя способами. Результат один и тот же: стороны основания просто поменяются местами.