Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 19, §2 Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми
№34. Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N и P — середины отрезков DA, DB и DC, точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых: а) ND и AB; б) PK и BC; в) MN и AB; г) MP и AC; д) KN и AC; е) MD и BC.
✎ Запись в тетрадь
Дано:D∈/(ABC); M, N, P — середины DA, DB, DC; K∈BN, K=N
Найти:расположение пар прямых а)–е)
а)
ND — это прямая
DB,
DB∩AB=B ⇒ пересекаются.
1б)
PK и
BC лежат в
(DBC),
K=N ⇒
PK∥BC ⇒ пересекаются.
2в)
MN — средняя линия
△DAB ⇒
MN∥AB.
3г)
MP — средняя линия
△DAC ⇒
MP∥AC.
3д)
KN — это прямая
DB;
DB∩(ABC)=B∈/AC ⇒ скрещиваются.
4е)
MD — это прямая
AD;
AD∩(ABC)=A∈/BC ⇒ скрещиваются.
4Ответ: а), б) пересекаются; в), г) параллельны; д), е) скрещивающиеся.
Пояснение
Идея. Две прямые либо лежат в одной плоскости (тогда они пересекаются или параллельны), либо не лежат (скрещиваются). Для каждой пары выясняем, лежат ли прямые в одной плоскости, а скрещивание доказываем признаком из п. 7.
- 1Точка N лежит на DB, поэтому прямая ND совпадает с прямой DB. С AB у неё общая точка B, а сами прямые разные.
- 2Точки P, K, B, C лежат в плоскости DBC. Через P в этой плоскости проходит единственная прямая, параллельная BC, — средняя линия PN. Точка K не совпадает с N, поэтому PK параллельной не будет, и в одной плоскости такие прямые пересекаются.
- 3Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне.
- 4Признак скрещивающихся прямых (п. 7): если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает её в точке, не лежащей на первой, то прямые скрещиваются. Прямая DB пересекает плоскость ABC только в B (точка D вне плоскости), а B не лежит на AC. Для AD и BC рассуждение то же.
Частая ошибка. Считать, что PK∥BC при любом K. Так только при K=N, когда PK — средняя линия; здесь K=N.
