Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 77, §2 Пирамида
№253. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и 46 см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите её высоту.
✎ Запись в тетрадь
Дано:
PABCD — пирамида; ABCD — равнобедренная трапеция, AD=46 см, BC=6 см, высота 5 см; PA=PB=PC=PD=13 см
Найти:
PO
PA=PB=PC=PD ⇒ O — центр описанной около трапеции окружности (зад. 249).1
M, N — середины оснований, O∈MN, MN=5; пусть OM=x, ON=5−x.2
Идея. Равные боковые рёбра — значит, высота падает в центр описанной окружности основания (задача 249). Вокруг равнобедренной трапеции окружность описать можно; радиус найдём, а затем высоту — из прямоугольного треугольника с гипотенузой 13.
1По задаче 249 высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Равнобедренная трапеция вписывается в окружность, так что O существует.
2Центр лежит на серединных перпендикулярах к основаниям — это одна и та же прямая MN (ось симметрии трапеции). Расстояния от O до A и до B равны радиусу; каждое выражаем по теореме Пифагора через половину основания и расстояние до него вдоль MN. Знак x можно не выяснять: (5−x)2 входит в уравнение одинаково.
3PO перпендикулярна плоскости основания, △POA прямоугольный с гипотенузой PA=13 и катетом OA=R=5.
