Учебник «Геометрия. 10–11 классы», с. 76, §2 Пирамида
№251. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой BC. Боковые рёбра пирамиды равны друг другу, а её высота равна 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, если BC=10 см.
✎ Запись в тетрадь
Дано:DABC — пирамида; ∠A=90∘, BC=10 см; DA=DB=DC; DO⊥(ABC), DO=12 см
Найти:DA
DA=DB=DC ⇒
O — центр описанной около
△ABC окружности (зад. 249).
1 ∠A=90∘ ⇒
O — середина гипотенузы
BC.
2 DO⊥(ABC) ⇒
△DOA прямоугольный (
∠O=90∘).
3 Ответ: 13 см.
Пояснение
Идея. Равные боковые рёбра ставят основание высоты в центр описанной около основания окружности (задача 249). У прямоугольного треугольника этот центр известен — середина гипотенузы.
- 1Для равных боковых рёбер доказано в задаче 249: высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.
- 2Прямой угол вписан в окружность и опирается на диаметр, поэтому гипотенуза BC — диаметр, а её середина — центр. Радиус — половина гипотенузы.
- 3DO перпендикулярна плоскости основания, значит, перпендикулярна и OA. Ребро DA — гипотенуза треугольника DOA.
