Номер 254 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A BC

— правильная пирамида;

A B = a

;

PO ⊥ (A BC)

PO = H

Найти:

а)

P A

; б)

∠ A PB

; в)

∠ (P A, (A BC))

; г)

∠ ((P A B), (A BC))

; д) двугранный угол при

P A

Правильная треугольная пирамида PABC: высота PO, апофема PM, углы PAO и PMO

O

— центр

△ A BC

M

— середина

A B

;

CM

— медиана и высота,

CO : OM = 2 : 1

O A = R = \frac{a}{3}, OM = r = \frac{a}{2 3}

а)

P A = P O^{2} + O A^{2} = H^{2} + \frac{a ^{2}}{3} = \frac{9 H ^{2} + 3 a ^{2}}{3}

б)

sin \frac{∠ A PB}{2} = \frac{A M}{P A} = \frac{3 a}{2 9 H ^{2} + 3 a ^{2}} \Rightarrow ∠ A PB = 2 arcsin \frac{3 a}{2 9 H ^{2} + 3 a ^{2}}

в)

∠ P A O : tg ∠ P A O = \frac{PO}{O A} = \frac{3 H}{a}

г)

PM ⊥ A B

OM ⊥ A B

⇒

∠ PMO

— линейный угол при ребре

A B

tg ∠ PMO = \frac{PO}{OM} = \frac{2 3 H}{a}

д)

Правильная треугольная пирамида PABC: BK и CK перпендикулярны ребру PA, KN перпендикулярно PA

B K ⊥ P A

△ P A B = △ P A C

⇒

C K ⊥ P A

⇒

∠ B K C = ψ

— линейный угол при ребре

P A

N

— середина

BC

K N ⊥ BC

∠ B K N = \frac{ψ}{2}

;

P A ⊥ (B K C)

⇒

K N ⊥ P A

S_{P A N} = \frac{1}{2} A N \cdot PO = \frac{1}{2} P A \cdot K N \Rightarrow K N = \frac{\frac{3}{2} a \cdot H}{P A} = \frac{3 a H}{2 3 H ^{2} + a ^{2}}

tg \frac{ψ}{2} = \frac{BN}{K N} = \frac{a}{2} \cdot \frac{2 3 H ^{2} + a ^{2}}{3 a H} = \frac{3 H ^{2} + a ^{2}}{3 H}

Ответ: а)

\frac{9 H ^{2} + 3 a ^{2}}{3}

; б)

2 arcsin \frac{3 a}{2 9 H ^{2} + 3 a ^{2}}

; в)

arctg \frac{3 H}{a}

; г)

arctg \frac{2 3 H}{a}

; д)

2 arctg \frac{3 H ^{2} + a ^{2}}{3 H}

Пояснение

Идея. Все пять величин видны в прямоугольных треугольниках, у которых катет — высота $PO$ : боковое ребро, угол ребра с основанием, угол грани с основанием. Для плоского угла и для двугранного угла при боковом ребре нужны равнобедренные треугольники и один дополнительный отрезок.

1В равностороннем треугольнике центр лежит на пересечении медиан и делит каждую в отношении $2 : 1$ от вершины. Медиана $\frac{a 3}{2}$ , поэтому $R = \frac{a}{3}$ , $r = \frac{a}{2 3}$ .
2 $PO$ перпендикулярна плоскости основания, $△ PO A$ прямоугольный: ребро — гипотенуза, катеты $H$ и $R$ .
3Грань $P A B$ равнобедренная ( $P A = PB$ в правильной пирамиде). Высота $PM$ делит угол при вершине и основание пополам; в прямоугольном $△ PM A$ синус угла $\frac{∠ A PB}{2}$ равен $\frac{A M}{P A}$ .
4Угол между наклонной и плоскостью — угол между ней и проекцией. Проекция $P A$ на основание — $O A$ .
5 $PM$ — апофема, высота грани. $OM ⊥ A B$ как отрезок медианы-высоты, значит, по теореме о трёх перпендикулярах $PM ⊥ A B$ . Прямые $PM$ и $OM$ перпендикулярны ребру $A B$ в разных гранях — $∠ PMO$ линейный.
6Линейный угол двугранного угла при ребре $P A$ — угол между перпендикулярами к $P A$ , проведёнными в гранях. Проведём в грани $P A B$ высоту $B K$ . Грани $P A B$ и $P A C$ — равные треугольники, поэтому высота из $C$ падает в ту же точку $K$ и $C K = B K$ .
7 $P A$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $B K$ и $C K$ плоскости $B K C$ , значит, перпендикулярна и $K N$ . Следовательно, $K N$ — высота $△ P A N$ к стороне $P A$ . Площадь этого треугольника считаем двумя способами: $A N$ лежит в основании, $PO ⊥ A N$ , поэтому $S = \frac{1}{2} A N \cdot PO$ ; здесь $A N = \frac{a 3}{2}$ .
8В равнобедренном $△ B K C$ медиана $K N$ — биссектриса и высота, поэтому $tg \frac{ψ}{2} = \frac{BN}{K N}$ с $BN = \frac{a}{2}$ .

Номер 254 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели