Номер 249 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A_{1} A_{2} \dots A_{n}

— пирамида;

P A_{1} = P A_{2} = \dots = P A_{n}

;

PO ⊥ (A_{1} A_{2} \dots A_{n})

Доказать:

а)

O

— центр описанной окружности; б)

∠ P A_{1} O = ∠ P A_{2} O = \dots

Пирамида PA1A2A3 с равными боковыми рёбрами, PO — высота, O — центр описанной окружности

PO ⊥ (A_{1} A_{2} \dots A_{n})

⇒

△ PO A_{i}

— прямоугольные,

∠ O = 9 0^{\circ}

Катет

PO

общий, гипотенузы

P A_{i}

равны ⇒

△ PO A_{1} = △ PO A_{2} = \dots = △ PO A_{n}

а)

O A_{1} = O A_{2} = \dots = O A_{n}

⇒

O

— центр описанной окружности.3

б)

O A_{i}

— проекция

P A_{i}

на плоскость основания ⇒

∠ P A_{i} O

— угол ребра с плоскостью.4

Из равенства треугольников

∠ P A_{1} O = ∠ P A_{2} O = \dots = ∠ P A_{n} O

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Высота пирамиды и проекции боковых рёбер на основание образуют набор прямоугольных треугольников. Рёбра равны по условию, высота у всех общая — значит, треугольники равны, а из равенства получаем и равные расстояния до вершин, и равные углы.

1 $PO$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому перпендикулярна любой прямой в ней, в том числе $O A_{i}$ . Треугольники прямоугольные с гипотенузами $P A_{i}$ .
2Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Соответственные стороны: $O A_{1} = O A_{2} = \dots$ и соответственные углы: $∠ P A_{i} O$ равны.
3Точка, равноудалённая от всех вершин многоугольника, — центр описанной окружности: окружность с центром $O$ и радиусом $O A_{1}$ проходит через все вершины основания.
4Углом между наклонной и плоскостью называют угол между наклонной и её проекцией на плоскость. Проекция $P A_{i}$ — отрезок $O A_{i}$ .

Номер 249 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели