Номер 247 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Дано:

P A_{1} A_{2} \dots A_{n}

— пирамида;

PO ⊥ (A_{1} A_{2} \dots A_{n})

; двугранные углы при рёбрах основания равны

φ

Доказать:

а)

O

— центр вписанной окружности; б) высоты граней равны; в)

S_{бок} = \frac{1}{2} P h

Пирамида PA1A2A3, PO — высота, OM перпендикулярно стороне основания, угол PMO равен φ

PO ⊥ (A_{1} A_{2} \dots A_{n})

;

OM ⊥ A_{1} A_{2}

M \in A_{1} A_{2}

⇒

PM ⊥ A_{1} A_{2}

∠ PMO = φ

— линейный угол двугранного угла при ребре

A_{1} A_{2}

а)

△ POM : ∠ O = 9 0^{\circ}, ∠ M = φ \Rightarrow OM = PO \cdot ctg φ

Для любой стороны то же:

O

равноудалена от всех сторон ⇒

O

— центр вписанной окружности.3

б)

PM = \frac{PO}{sin φ}

PM ⊥ A_{1} A_{2}

— высота грани; для всех граней

PO

φ

те же ⇒ высоты равны.4

в)

S_{бок} = \frac{1}{2} A_{1} A_{2} \cdot h + \frac{1}{2} A_{2} A_{3} \cdot h + \dots = \frac{1}{2} (A_{1} A_{2} + A_{2} A_{3} + \dots) h = \frac{1}{2} P h

Ответ: доказано.

Пояснение

Идея. Проводим из основания высоты $O$ на стороны и получаем набор прямоугольных треугольников с общим катетом $PO$ и одним и тем же острым углом $φ$ . Все треугольники равны, а из их равенства следуют все три утверждения.

1 $PM$ — наклонная, $OM$ — её проекция на плоскость основания, $OM ⊥ A_{1} A_{2}$ . По теореме о трёх перпендикулярах $PM ⊥ A_{1} A_{2}$ , то есть $PM$ — высота боковой грани.
2Прямые $OM$ и $PM$ перпендикулярны ребру $A_{1} A_{2}$ и лежат в основании и в грани, значит, $∠ PMO$ — линейный угол двугранного угла при этом ребре, он равен $φ$ .
3Из прямоугольного треугольника $POM$ : $OM = PO ctg φ$ . Правая часть не зависит от стороны, поэтому все перпендикуляры из $O$ на стороны равны. Окружность с центром $O$ и таким радиусом касается всех сторон в точках $M$ — это вписанная окружность.
4Гипотенуза $PM = \frac{PO}{sin φ}$ тоже не зависит от стороны. Каждая такая гипотенуза — высота своей грани, проведённая из вершины.
5Площадь каждой грани — половина основания на высоту $h$ . Общий множитель $\frac{1}{2} h$ выносим за скобки, в скобках остаётся сумма сторон основания — его периметр.

Частая ошибка. Точка $O$ лежит внутри основания: углы $φ$ — двугранные углы пирамиды, и перпендикуляры из $O$ падают на сами стороны.

Номер 247 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

✎ Запись в тетрадь

Пояснение

🕒 Вы недавно смотрели