Номер 255 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Высота — катет прямоугольного треугольника $POA$, где гипотенуза $PA$ — боковое ребро, а второй катет $OA$ — радиус окружности, описанной около основания. Боковое ребро находим из равнобедренной грани по углу $\phi$.

1. 1В равнобедренном треугольнике $PAB$ высота $PM$ является ещё и биссектрисой и медианой. В прямоугольном $△PMA$ противолежащий углу $\frac{\phi }{2}$ катет равен 4, гипотенуза — ребро $PA$.
2. 2В правильном треугольнике радиус описанной окружности $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ (центр делит медиану $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ в отношении $2:1$). Так как пирамида правильная, $PO$ падает в центр $O$.
3. 3$PO\perp (ABC)$, поэтому $△POA$ прямоугольный с гипотенузой $PA$.
4. 4Ответ книги записан через $\mathrm{tg}\frac{\phi }{2}$. Подставляем $\frac{1}{{\sin }^{2}x}=1+{\mathrm{ctg}}^{2}x$ и выносим $16{\mathrm{ctg}}^{2}x$ из-под корня.

Проверка. При $\phi =60^{\circ }$ пирамида — правильный тетраэдр с ребром 8: $H=8\sqrt{\frac{2}{3}}$, формула это даёт. Угол $\phi$ меньше $120^{\circ }$.