Номер 246 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Основание высоты пирамиды — проекция вершины на основание. Высоты боковых граней падают на стороны основания, и по расстояниям от проекции до сторон видно, что это центр вписанной окружности.

1. 1Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $PM$ и $PO$ плоскости $POM$ (признак перпендикулярности прямой и плоскости, п. 17). Значит, она перпендикулярна и всякой прямой этой плоскости, в частности $OM$. Значит, $OM$ — расстояние от $O$ до прямой $AB$.
2. 2$△POM$ — прямоугольный с прямым углом $O$: гипотенуза $PM=41$, катет $PO=40$. Для двух других граней — тот же треугольник с теми же числами.
3. 3Точка плоскости, равноудалённая от трёх сторон треугольника, — центр вписанной окружности: окружность с центром $O$ и радиусом 9 касается всех трёх сторон в основаниях высот граней.
4. 4Площадь описанного многоугольника: $S=\frac{1}{2}Pr$ (треугольник разбивается на три треугольника с вершиной $O$ и высотой $r$ к каждой стороне).

Частая ошибка. Реального треугольника с такими числами нет: при периметре 42 радиус вписанной окружности не больше $\frac{14}{2\sqrt{3}}\approx 4,04$ (равносторонний), а в условии он равен 9. Формулы при этом работают, и ответ 189 см² — тот, что в книге; чертёж схематичный.