Номер 248 — ГДЗ Геометрия 10 класс Атанасян

Пояснение

Идея. Равные двугранные углы при основании означают, что высота пирамиды падает в центр вписанной окружности, а высоты боковых граней равны (задача 247). Остаётся найти радиус вписанной окружности и высоту грани.

1. 1Из задачи 247: $OM$ — радиус вписанной окружности, $PM$ — высота грани $PAB$ (по теореме о трёх перпендикулярах), $\angle PMO$ — линейный угол при ребре $AB$.
2. 2Радиус вписанной окружности $r=\frac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр. Высоту к основанию равнобедренного треугольника найдём по теореме Пифагора: основание делится пополам.
3. 3В прямоугольном $△POM$ катет $OM$ прилежит к углу $45^{\circ }$, поэтому $PM=\frac{OM}{\cos 45^{\circ }}$.
4. 4Площадь боковой поверхности — половина периметра основания на высоту грани (задача 247 в).

Проверка. Проверка по формуле проекции (п. 31*): $S_{\text{бок}}=\frac{S_{\text{осн}}}{\cos 45^{\circ }}=48\sqrt{2}$.